Resolução da integral $\displaystyle \int \text{arc tg}(x)\ dx$

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos em tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo a passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$ \int \text{arc tg}(x)\ dx = x\ \text{arc tg}(x) - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C $$

Como a função $\text{arc tg}(x)$ não possui uma primitiva imediata, vamos resolver a integral combinando o método de integração por partes e por substituição.

Seja a integral:

$$ I = \int \text{arc tg}(x)\ dx $$

Para o integrando, vamos aplicar o método de integração por partes, escolhendo $u=\text{arc tg}(x)$ e $dv=dx$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dx$:

$$ u = \text{arc tg}(x) \quad \longrightarrow \quad du=\frac{dx}{1+x^2}\\ \ \\ dv = dx \quad \longrightarrow \quad v = x $$

Aplicamos os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:

$$ \int u\ dv = uv \ - \int v\ du $$ $$ I = \text{arc tg}(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{dx}{1+x^2}\\ \ \\ I = x\ \text{arc tg}(x) - \int \frac{x}{1+x^2}\ dx $$

Para o integrando, fazemos a substituição $w = 1+x^2$. Assim, $dw = 2x\ dx$ e $dx = \dfrac{dw}{2x}$:

$$ I = x\ \text{arc tg}(x) - \int \frac{x}{w} \cdot \frac{dw}{2x}\\ \ \\ I = x\ \text{arc tg}(x) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{w}\ dw $$

A integral de $\dfrac{1}{w}$ é $\ln |w|$. Assim:

$$ I = x\ \text{arc tg}(x) - \frac{1}{2} \ln |w| + C $$

Como $w=1+x^2 > 0$ para todo $x$ real, podemos omitir o módulo:

$$ I = x\ \text{arc tg}(x) - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C $$

Exemplo

Vamos calcular a área sob a curva $\text{arc tg}(x)$ no intervalo de $0$ a $1$.

Para calcularmos a área sob a curva, utilizamos o conceito de integral definida:

$$ \int_0^1 = \text{arc tg}(x)\ dx $$

Utilizando o resultado obtido anteriormente, temos que:

$$ A = \left[ x\ \text{arc tg}(x) - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) \right]_0^1 $$

Aplicando os limites:

$$ A = \left[1 \cdot \text{arc tg}(1) - \frac{1}{2} \ln (1+1^2)\right] - \left[0 \cdot \text{arc tg}(0) - \frac{1}{2} \ln (1+0^2)\right] $$

O ângulo cuja tangente vale $1$ é $\dfrac{\pi}{4}$ $(45°)$. Assim:

$$ A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} \ln (1) $$

O $\ln(1)=0$, logo:

$$ A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)\\ \ \\ A \approx 0,7854 - 0,3466\\ \ \\ A \approx 0,4388\ u.a. $$

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas